NEOGEO miniでアケコンを使うには、2018年11月30日にコロンバスサークルから発売される変換アダプタの「スーパーコンバーター(NEOGEO mini用)」を使う方法もありますが、「スーパーコンバーター(NEOGEO mini用)」は6998円もするので、変換アダプタに約7000円も出すなら、ネオジオミニに直接接続できるメイフラッシュ製のアケコンを買ったほうがいいでしょうね。
まあ、PS3やPS4のアケコンを持っているなら、「スーパーコンバーター(NEOGEO mini用)」を購入するのもありだとは思いますが…
さて、ファームウェアのアップーデートでNEOGEO miniに対応した「MAYFLASH Arcade Stick F300 Elite」「ARCADE FIGHTSTICK F300」「UNIVERSAL ARCADE FIGHTSTICK F500」「MAYFLASH Arcade Stick F101」ですが、メイフラッシュの公式サイトからファームウェアをダウンロードして適用することにより、ネオジオミニに対応させることができます。
■ファームウェアのダウンロード ⇒ http://www.mayflash.com/Support/Download/
ファームウェアの適用方法については、「Products」⇒「FIGHTSTICK」の各製品ページに記載されていますが、当然英語です。
■ファームウェアの適用方法(英語)⇒ http://www.mayflash.com/Products/FIGHTSTICK/
英語が苦手でなければ、英語の解説を参考にしてアップデートの作業を進めればいいとは思いますが、英語が苦手な場合には、中国MAYFLASH社の日本総代理店である「シンカ合同会社」のホームページで日本語の解説が掲載されていますので、そちらを参考にして作業を進めてください。
■ファームウェアの適用方法(日本語)⇒ https://shinka-japan.com/mayflash/
ただし、「MAYFLASH Arcade Stick F101」については、日本では未発売なので、シンカ合同会社のホームページには記載がありません。
「MAYFLASH Arcade Stick F101」は、「F300 Elite」「F300」「F500」に比べると価格が安く、amazon.comでは、39.99ドルで販売されていますが、個人輸入による送料や為替のことを考えると、「F300」を選んだほうがいいかと思います。
ちなみに、日本のAmazonでは、MAYFLASH F300の最安値は、2018年9月30日時点で、8980円(税込・送料無料)です。

価格:¥8,980 通常配送無料(2018.9.30時点)
ヤフーショッピングでは、MAYFLASH F300の最安値は、2018年9月30日時点で、7980円(税込・送料無料)なので、現時点では、アマゾンよりヤフーショッピングのほうが安いです。
価格 7,980円 税込・送料無料(2018.9.30時点)
楽天市場でも、以前はF300が販売されていましたが、現時点では売切れており、F500が3台残っているだけです。
F500については、楽天市場が一番安いですね。
手が大きい場合には、F300よりF500のほうが操作はしやすいようなので、安さを求めなければ、F500を選ぶのもいいかと思います。
とにかく安く手に入れたい場合にはヤフオクやメルカリで中古を探してみるのもいいですが、NEOGEO miniに対応したことで、F300やF500の取引価格も上がっています。